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Tesis > TEMA

Matemática [ 112 tesis ]

Topología [ 9 tesis ]

Carboni, Graciela. "Algebras de Frechet Noetherianas" (1997) Facultad de Ciencias Exactas y Naturales. Universidad de Buenos Aires

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del Hoyo, Matías L.. "Espacios clasificantes de categorías fibradas" (2009) Facultad de Ciencias Exactas y Naturales. Universidad de Buenos Aires

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Resumen:
Esta tesis se desarrolla en torno al estudio de los espacios clasificantes de fibraciones de categorías. Toda categoría pequeña tiene asociado de un modo natural un espacio topológico, su espacio clasificante. Introducimos variantes de esta construcción para el caso en que la categoría tiene estructura fibrada. A partir de estas nuevas construcciones obtenemos nuevos resultados en la teoría de homotopía de categorías, e interpretamos desde un nuevo punto de vista y de un modo conceptual varios de los teoremas clásicos de Quillen, Segal y Thomason. Entre los resultados obtenidos destacamos una versión relativa del Teorema A de Quillen, una versión homológica de ese mismo Teorema y una sucesión espectral, análoga a la clásica sucesión espectral de Serre, para calcular la homología de fibraciones de Grothendieck. Exponemos también una construcción novedosa para la subdivisión de una categoría, y derivaciones de esta construcción en teoría de homotopía de posets y en teoría de categorías. Por último, estudiamos la generalización de espacios clasificantes a 2-categorías, e implementamos los resultados expuestos en homotopía de categorías fibradas para caracterizar los espacios de lazos de las 2-categorías. Parte de los resultados obtenidos fueron publicados en los artículos y , mientras que los referentes a homotopía de 2-categorías peque~nas serán incluídos en .

Abstract:
This thesis deals with classifying spaces of fibred categories. A topological space is associated in a natural way to a every small category, namely its classifying space. We introduce alternative constructions for categories endowed with a fibred structure, obtaining new results in homotopy of categories and placing those of Quillen, Segal and Thomason into our framework. Among the obtained results, we emphasize a relative version of Quillen's Theorem A, a homological version of the same theorem and a Serre-style spectral sequence. As an application, we propose a new construction for subdivision of small categories, and derive consequences in homotopy of posets and in category theory. Finally, we study classifying spaces of 2-categories, and we apply the results in homotopy of fibred categories to give a characterization of loop spaces of 2-categories. Most part of the results exposed here were published in and , while the others will appear in .

Haddad, Julián. "Topología y geometría aplicada al estudio de algunas ecuaciones diferenciales de segundo orden" (2012) Facultad de Ciencias Exactas y Naturales. Universidad de Buenos Aires

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Maurette, Manuel. "Sistemas diferenciales singulares de segundo orden. Un enfoque topológico" (2012) Facultad de Ciencias Exactas y Naturales. Universidad de Buenos Aires

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Di Iorio y Lucero, María Eugenia. "Espacios métricos homogéneos de Lie-Banach" (2013-03-27) Facultad de Ciencias Exactas y Naturales. Universidad de Buenos Aires

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Capitelli, Nicolás Ariel. "Variedades combinatorias no homogéneas y dualidad de Alexander" (2014-12-05) Facultad de Ciencias Exactas y Naturales. Universidad de Buenos Aires

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Resumen:
En esta Tesis introducimos la teoría de NH-variedades, una extensión de la teoría clásica de variedades combinatorias al contexto no homogéneo. Las NH-variedades poseen una estructura local que consiste en versiones simpliciales de espacios euclídeos de distintas dimensiones, lo que les confiere propiedades muy parecidas a las de las variedades usuales. Nuestro trabajo permite extender los resultados principales de la teoría clásica de variedades a una clase mucho más amplia de espacios; entre estos resultados, el teorema de expansiones regulares de Alexander y la existencia de entornos regulares. A lo largo de esta Tesis exhibimos muchos ejemplos de espacios que forman parte de esta teoría pero no están incluidos en la teoría clásica. Introducimos también la noción de shelling no homogéneo y caracterizamos todas las NH-variedades shellables en el sentido de Björner y Wachs. La teoría de NH-variedades puede aplicarse al estudio de variedades clásicas y lo exhibimos en el caso concreto de la factorización de operaciones simpliciales entre variedades combinatorias (starrings, shellings y bistellar moves). En particular, se muestra que dos variedades son PL-homeomorfas si y sólo si pueden relacionarse por medio de NH-factorizaciones involucrando una sucesión de NH-variedades. En la segunda parte del trabajo analizamos la relación entre la teoría clásica y la no homogénea en el contexto de la dualidad de Alexander combinatoria. Estudiamos el dual de Alexander de las bolas y esferas combinatorias y mostramos que los doble duales de estos complejos son NH-bolas y NH-esferas, las versiones no homogéneas de las bolas y esferas clásicas. Además, definimos la noción de NH-bola y NH-esfera minimal, bolas y esferas no puras que satisfacen una condición de minimalidad en la cantidad de símplices maximales. Las NH-bolas y NH-esferas minimales caracterizan completamente la clase del simplex y del borde del simplex en la relación de equivalencia generada por tomar dual de Alexander. Uno de los resultados principales de este trabajo es la generalización al contexto no homogéneo de los resultados de Dong y Santos-Sturmfels sobre el tipo homotópico del dual de Alexander de las bolas y esferas combinatorias: el dual de Alexander de una NH-bola es un espacio contráctil y el dual de Alexander de una NH-esfera es homotópicamente equivalente a una esfera. Nuestra generalización muestra que el tipo homotópico del dual de Alexander es preservado para una clase mucho más amplia de espacios que los contemplados en los resultados originales de Dong y Santos-Sturmfels. Por ejemplo, incluye todas las NH-bolas y NH-esferas exhibidas (explícita o implícitamente) en esta Tesis.

Abstract:
In this Thesis we introduce the theory of NH-manifolds, an extension of the classical theory of combinatorial manifolds to the non-homogeneous setting. NH-manifolds have a local structure consisting of simplicial versions of euclidean spaces of different dimensions, giving them features very similar to those of polyhedral manifolds. In our work we extend the main results from the classical theory of manifolds to a larger class of spaces; among these results, the Alexander's theorem on regular expansions and the existence of regular neighbourhoods. Throughout this Thesis we present many examples of spaces which are part of this theory but are not included in the classical theory. We also introduce the notion of non pure shelling and characterize all shellable NH-manifolds in the sense of Bjorner and Wachs. The theory of NH-manifolds can be applied to the study of classical manifolds. This is exhibited in the concrete case of factorization of simplicial moves between combinatorial manifolds (starrings, shellings and bistellar moves). In particular, it is shown that two manifolds are PL-homeomorphic if and only if they are related through NH-factorizations involving a sequence of NH-manifolds. In the second part of this work we analyze the relation between the classical and the non-pure theory within the context of combinatorial Alexander duality. We study the Alexander dual of combinatorial balls and spheres and show that the double duals of these classes of complexes are NH-balls and NH-spheres, the non-homogeneous versions of classical balls and spheres. We also define the notion of minimal NH-ball and NH- sphere, a subfamily of non-pure manifolds satisfying a minimality condition on the number of maximal simplices. Minimal NH-balls and NH-spheres completely characterize the class of the simplex and the boundary of the simplex in the equivalence relation generated by taking Alexander dual. One of the main results of this Dissertation is a generalization to the non-homogeneous setting of the results of Dong and Santos-Sturmfels on the homotopy type of the Alexander dual of combinatorial balls and spheres: the Alexander dual of an NH-ball is a contractible space and the Alexander dual of an NH-sphere is homotopically equivalent to a sphere. Our generalization shows that the homotopy type of the Alexander dual is preserved for a far larger class of spaces than the original results by Dong and Santos-Sturmfels. For example, all NH-balls and NH-spheres exhibited (explicitly or implicitly) in this Thesis are included.

Cerdeiro, Manuela A.. "Un nuevo enfoque sobre la conjetura de Whitehead y la asfericidad de los complejos LOT" (2015-07-06) Facultad de Ciencias Exactas y Naturales. Universidad de Buenos Aires

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Resumen:
Este trabajo se centra en el estudio de la conjetura de Whitehead y de la asfericidad de los complejos LOT, aplicando nuevos métodos y herramientas basados principalmente en la teoría de espacios topológicos finitos. Sea L un complejo asférico de dimensión 2. Los subcomplejos de L son también asféricos? Esta pregunta fue formulada por J. H. C. Whitehead en 1941 , y todavía no tiene respuesta. Entre los avances más importantes en este tema está el teorema de J. Howie a partir del cual el problema se separa en dos casos donde se consideran, respectivamente, complejos compactos y no compactos . A partir de este resultado, traducimos el caso compacto al contexto de los espacios finitos, y podemos atacar el problema con un enfoque nuevo, distinto de las estrategias aplicadas hasta ahora. Los complejos LOT (labeled oriented tree) aparecen en el estudio de ciertas variedades que surgen como complementos de los llamados ribbon discs. Howie probó que si un complejo se 3-deforma a un punto, entonces el subcomplejo que surge de quitarle una 2-celda se 3-deforma a un complejo LOT . Es por esto que los complejos LOT forman un nexo entre la conjetura de Whitehead y la conjetura de Andrews-Curtis. Por otro lado, todo complejo LOT se puede ver como subcomplejo de un complejo contráctil. Es por esto que los complejos LOT son considerados casos testigos de la conjetura de Whitehead. La teoría de espacios finitos comenzó en los años 30 con un trabajo de P. S. Alexandroff donde se los relaciona con los conjuntos parcialmente ordenados (posets) finitos . Esta teoría tuvo un avance importante en el a~no 1966 con el trabajo de M. C. McCord a partir del cual se constituyen como modelos combinatorios de poliedros . En los últimos años, J. A. Barmak y E. G. Minian hicieron importantes avances en esta teoría. Entre otros aportes, desarrollaron la teoría de homotopía simple para espacios finitos, y aplicaron los espacios finitos al estudio de las conjeturas de Quillen y de Andrews-Curtis . En este trabajo desarrollamos nuevos métodos combinatorios de espacios finitos, diseñados espacialmente para el estudio de la asfericidad. Probamos la validez de la conjetura para dos amplias familias de poliedros compactos: los cuasi construibles contráctiles, y los fuertemente asféricos. Utilizando resultados recientes de Barmak y Minian sobre G- coloreos de posets, obtenemos una descripción eficiente del segundo grupo de homotopía de un complejo LOT, como un submódulo de un módulo libre, con generadores indexados por las aristas, y ecuaciones indexadas por los vértices. A partir de esta descripción, hallamos un método para el análisis de la asfericidad de estos complejos. Con este nuevo método se obtenemos resultados sobre la asfericidad de importantes familias de LOTs. Palabras clave: CW-complejos, asfericidad, complejos LOT, espacios topológicos finitos, métodos de reducción.

Abstract:
This work is focused on the study of the Whitehead conjecture and the asphericity of LOT complexes, by applying new methods based on the theory of finite topological spaces. Is every subcomplex of an aspherical, two-dimensional complex itself aspherical? This question was stated by J. H. C. Whitehead in 1941 , and it sill hasn't been answered. Using a result of J. Howie one can treat separately the compact and the non-compact case (both are open and interesting). We concentrate on the compact case using, among other tools, methods of the theory of finite topological spaces. LOT complexes appear in the study of certain manifolds that arise as complements of the so called ribbon discs. Howie proved that if a CW-complex can be 3-deformed to a point, then the subcomplex obtained by eliminating a 2-cell can be 3-deformed to a LOT complex . This is why these complexes constitute a link between the Whitehead conjecture and the Andrews-Curtis conjecture. On the other hand, every LOT complex can be seen as a subcomplex of a contractible complex. This is why LOT complexes are considered test cases for the Whitehead conjecture. The theory of finite spaces started in 1937 with a work of P. S. Alexandroff, who related them with finite partially ordered sets (posets) . This theory had an important breakthrough in 1966 with the work of M. C. McCord, which established them as combinatorial models for compact polyhedra . In the last few years, J. A. Barmak and E. G. Minian made important advances in this theory. Among other contributions, they developed the simple homotopy theory of finite spaces, and applied methods of finite spaces to the study of the conjecture of Quillen and to the Andrews-Curtis conjecture . In the present work we develop new combinatorial methods of finite spaces, specially designed for the study of asphericity. We prove the validity of the conjecture for two large families of compact polyhedra: the contractible quasi-constructible complexes, and the strong aspherical complexes. Making use of recent results of Barmak and Minian about G-colorings of posets, we obtain an efficient description of the second homotopy group of a LOT complex, as a submodule of a free Z-module, with generators indexed by the edges, and equations indexed by the vertices. Using this description, we find a method for the analysis of the asphericity of these complexes. With these new methods we obtain results about the asphericity of important families of LOTs. Kew words: CW-complexes, asphericity, LOT complexes, finite topological spaces, reduction methods.

Tartaglia, Gisela. "K-teoría algebraica y topológica de anillos de grupo" (2015-08-04) Facultad de Ciencias Exactas y Naturales. Universidad de Buenos Aires

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Resumen:
Las conjeturas de isomorfismo prevén una descripción de la K-teoría (en sus diversas variantes) del producto cruzado R x G de un grupo G con coeficientes en un anillo R equipado con una acción de G, en términos de topología algebraica. En esta tesis estudiamos diferentes versiones de las conjeturas con ideales de operadores como anillos de coeficientes. Consideramos primero el morfismo de ensamble para la K-teoría algebraica con coeficientes en el anillo S de operadores de Schatten. Guoliang Yu probó que este morfismo es racionalmente inyectivo. Su prueba involucra la construcción de un cierto caracter de Chern que funciona para el caso particular con coeficientes K(S). Aquí damos una demostración alternativa del resultado de Yu, formulándolo en términos de K-teoría homotópica y utilizando el caracter de Chern usual con valores en la homología cíclica. Mostramos además que si G satisface la conjetura de isomorfismo racional para K-teoría homotópica con coeficientes en el álgebra de operadores de traza en un espacio de Hilbert, entonces también satisface la conjetura de Novikov para K-teoría algebraica y la parte de inyectividad racional de la conjetura de Farrell-Jones con coeficientes en cualquier cuerpo de números. Finalmente probamos la validez de la conjetura de Farrell-Jones para un grupo a-T-menable G con coeficientes en un anillo de la forma Ix(UxK), donde I es un G-anillo K-escisivo, U es una G-C*-álgebra y K = K(l´2(N) es ideal de operadores compactos. Utilizando esto y el resultado de Higson y Kasparov sobre la validez de la conjetura de Baum-Connes con coeficientes para tales grupos, mostramos que si A es estable y separable la K-teoría del producto cruzado algebraico U x G coincide con la K-teoría de la C*-álgebra plena C*(U;G). Palabras clave: K-teoría, conjeturas de isomorfismo, ideales de operadores, homología, álgebras de grupo.

Abstract:
The isomorphism conjectures predict a description of the K-theory (in its different variants) of the crossed product R x G of a group G with coefficients in a ring R equipped with an action of G, in terms of algebraic topology. In this thesis we study different versions of the conjectures with operator ideals as coefficient rings. We consider first the assembly map for algebraic K-theory with coefficients in the ring of Schatten operators S. Guoliang Yu proved that this morphism is rationally injective. His proof involves the construction of a certain Chern character tailored to work with coefficients K(S). Here we give a different proof of Yu's result; we formulate it in terms of homotopy K-theory and we use the usual Chern character with values in the cyclic homology. We also show that if G satisfies the rational isomorphism conjecture for homotopy K-theory with coefficients in the algebra of trace-class operators in a Hilbert space, then it also satisfies the Novikov conjecture for algebraic K-theory and the rational injectivity part of the Farrell-Jones conjecture with coefficients in any number field. Finally we prove the validity of the Farrell-Jones conjecture for an a-T-menable group G with cofficients in a ring of the form Ix(UxK), where I is a K-excisive G-ring, U is a G-C*-algebra and K = K(l`2(N) is the ideal of compact operators. We use this and the result of Higson and Kasparov that the Baum-Connes conjecture with coefficients holds for such groups, to show that if U is stable and separable, then the algebraic and the C*-crossed products of G with U have the same K-theory. Keywords: K-theory, isomorphism conjectures, operator ideals, homology, group algebras.

Amoreo, Aníbal. "Fibraciones de Cardy" (2015-09-25) Facultad de Ciencias Exactas y Naturales. Universidad de Buenos Aires

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Resumen:
This work is focused on the study of families of open-closed topological field theories parameterized by a manifold with multiplication and their relationships with twisted vector bundles. Open-closed field theories were axiomatized by G. Moore and G. Segal in . The study of families of such theories led us to the definition of Calabi-Yau and Cardy fibrations; these are fibred categories (in fact stacks) over the base manifold with multiplication which generalize the definition of Moore and Segal in the sense that when the base manifold is a one-point space, we recover the original definition. A careful study of their properties (that is, a detailed proof showing that these categories are additive, pseudo-abelian and enjoy an action of the category of locally free modules) led us to a relationship between these families of open-closed field theories and 2-vector bundles (as defined by Baas, Dundas and Rognes in ), thus providing an affirmative answer to a suggestion given by G. Segal in . Moreover, we also found a relationship between the transition homomorphisms of Cardy fibrations and Higgs bundles. The last part deals with global objects (that is, objects of the category over the whole base space). A functorial link between the category of modules over the spectral cover and the category of modules over the tangent sheaf of the manifold is obtained. We also show that Azumaya algebras, in the sense of A. Grothendieck , appear naturally in the study of Cardy fibrations: given an object a of the fibred category defined over the whole base space, the space of arrows a!a can be defined as the pushout of a certain Azumaya algebra along the spectral projection S ! M. On the other hand, as was proved by M. Karoubi in , twisted vector bundles are closely related to these Azumaya algebras. This facts led us to a characterization of global objects in the fibred category in terms of twisted vector bundles over the spectral cover of the base manifold. Keywords: Open-closed field theory, twisted vector bundle, manifold with multiplication, spectral cover, 2-vector bundle.

Abstract:
Este trabajo trata principalmente sobre el estudio de familias de teorías topológicas de campo abiertas-cerradas parametrizadas por una variedad con multiplicación y su relación con fibrados vectoriales torcidos. Las teorías abiertas-cerradas fueron axiomatizadas por G. Moore y G. Segal en . A partir del estudio de dichas teorías se definieron las nociones de fibración de Calabi-Yau y fibración de Cardy; estas son categorías fibradas (en realidad stacks) sobre la variedad con multiplicación en cuestión, que generalizan la definición dada por Moore y Segal, en el sentido de que cuando la variedad base tiene un único punto, se recupera la definición original. Un estudio detallado de sus propiedades (aditividad, pseudo-abelianidad y la acción de la categoría de módulos localmente libres) nos llevó a obtener una relación entre estas familias de teorías de campos y los 2-fibrados vectoriales de Baas, Dundas y Rognes, dando asi una respuesta afirmativa a una sugerencia de G. Segal en . Mas aún, se obtuvo también una relación entre los morfismos de transición de la fibración de Cardy y los fibrados de Higgs. La última parte de la tesis estudia principalmente los objetos globales (esto es, los objetos de la categoría definida sobre toda la variedad base). En primer lugar, se obtuvo una relación functorial entre la categoría de módulos sobre el recubrimiento espectral y la de módulos sobre el haz tangente. También mostramos que las álgebras de Azumaya, en el sentido de A. Grothendieck , aparecen naturalmente en el estudio de las fibraciones de Cardy: dado un objecto a de la categoría definido sobre toda la variedad base, el espacio de morfismos a!a se puede definir como el pushout de cierta álgebra de Azumaya a lo largo de la proyección espectral S ! M. Por otro lado, como fue demostrado por M. Karoubi en , los fibrados torcidos están íntimamente relacionados con las álgebras de Azumaya. Estos hechos nos llevaron a obtener una caracterización de los objetos globales de la categoría fibrada en términos de los fibrados torcidos sobre el recubrimiento espectral de la variedad base. Palabras clave: Teoría de campos abierta-cerrada, fibrado vectorial torcido, variedad con multiplicación, recubrimiento espectral, 2-fibrado vectorial.

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Biblioteca Central Dr. Luis Federico Leloir - Facultad de Ciencias Exactas y Naturales - Universidad de Buenos Aires
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