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Tesis > TEMA

Matemática [ 112 tesis ]

Teoría de Números [ 2 tesis ]

Walsh, Miguel Nicolás. "Teoremas inversos discretos" (2012) Facultad de Ciencias Exactas y Naturales. Universidad de Buenos Aires

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Resumen:
La presente tesis estudia dos instancias diferentes de teoremas inversos discretos, la primera relacionada con cuestiones de convergencia en la teoría ergódica y la segunda con problemas de distribución local en la teoría de números. El primer resultado nos permite caracterizar aquellas funciones que pueden formar promedios ergódicos no convencionales grandes en la norma L2. Discutimos luego descomposiciones abstractas de estructura y aleatoriedad y las extendemos al contexto de la teoría ergódica, habilitando la posibilidad de estudiar varios niveles de estructura en forma simultánea. Combinando estas herramientas con el teorema inverso previamente mencionado y un proceso inductivo adecuado, logramos demostrar que los promedios ergódicos polinomiales múltiples provenientes de la acción de un grupo nilpotente de transformaciones que preservan la medida en un espacio de probabilidad siempre convergen en norma. Esto responde una conjetura de Bergelson y Leibman. El segundo resultado concierne la distribución de conjuntos en clases residuales. Introducimos los conceptos de conjuntos característicos y genéricos, y los aplicamos en el marco de la criba de Gallagher para mostrar que si un conjunto grande de puntos enteros S ⊆ {1,...,N}d, d > 1, ocupa pocas clases residuales modulo p, para muchos primos p, entonces debe estar esencialmente contenido en el conjunto de soluciones de una ecuación polinomial de grado acotado. Esto resuelve una pregunta de Helfgott y Venkatesh.

Abstract:
The present thesis studies two diferent instances of discrete inverse theorems, the first one pertaining convergence issues in ergodic theory and the second one problems of local distribution in number theory. The first result allows us to characterize those functions that can form nonconventional ergodic averages with large L2 norm. We then discuss abstract structurerandomness decompositions and extend them to the context of ergodic theory, by allowing for diferent levels of structure to be handled simultaneously. Combining these tools with the aforementioned inverse theorem and an adequate induction procedure, we are able to show that multiple polynomial ergodic averages arising from nilpotent groups of measure preserving transformations of a probability space always converge in norm. This answers a conjecture of Bergelson and Leibman. The second result concerns the distribution of sets in residue classes. We introduce the concepts of characteristic and generic sets, and apply them in the framework of the larger sieve to show that if a big set of integer points S ⊆ {1,...,N}d, d > 1, occupies few residue classes mod p, for many primes p, then it must essentially lie in the solution set of some polynomial equation of low degree. This settles a question of Helfgott and Venkatesh.

Sirolli, Nicolás. "Cálculo de formas de Hilbert de pesos entero y medio entero" (2013) Facultad de Ciencias Exactas y Naturales. Universidad de Buenos Aires

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Resumen:
En esta tesis hemos trabajado en dos temas distintos relacionados con el cálculo de formas modulares de Hilbert: el problema de calcular representantes para clases de ideales en álgebras de cuaterniones totalmente definidas, y el problema de calcular preimágenes para el mapa de Shimura en formas modulares de Hilbert. Aunque los dos temas pueden ser considerados por separado, por lo cual hemos dividido esta tesis en dos capítulos, ambos están estrechamente relacionados: el método que damos para calcular preimágenes para el mapa de Shimura depende fuertemente de la posibilidad de calcular representantes para clases de ideales. Capítulo 1: Cálculo de representantes para clases de ideales en álgebras de cuaterniones La teoía de álgebras de cuaterniones sobre cuerpos de números juega un rol central en varios cálculos relacionados con formas modulares. La idea de obtener formas modulares como series theta asociadas a ciertos retículos en álgebras de cuaterniones se retrotrae a Hecke (ver ). Eichler y otros (ver , , ) probaron que toda forma modular cuyo nivel no sea un cuadrado puede ser obtenida como una combinaci´on lineal de estas series theta, usando como retículos los ideales para cierto orden en un álgebra de cuaterniones definida. Como ideales equivalentes dan la misma serie theta, para este propósito alcanza con considerar clases de ideales. Pizer dio en un algoritmo para calcular los órdenes de Eichler y sus clases de ideales, el cual consiste en precalcular el número de clases del orden y luego empezar a calcular ideales (de una manera bastante aleatoria) hasta que el número de clases es alcanzado. El cálculo de formas modulares de Hilbert ha sido un tema de intensa investigación en los últimos años. Poder calcularlas es crucial para obtener evidencias numéricas para comprobar la veracidad de ciertas construcciones de la Teoría de Números que son bien conocidas sobre los números racionales pero que son todavía conjeturales sobre otros cuerpos de números, como la teoría de Eichler-Shimura. Las clases de ideales para órdenes de Eichler en álgebras de cuaterniones totalmente definidas sobre cuerpos de números totalmente reales pueden ser utilizadas para calcular formas modulares de Hilbert, como se explica en para formas modulares de Hilbert sobre Q y en sobre otros cuerpos cuadráticos reales, siguiendo las ideas de Pizer Todos estos métodos requieren primero encontrar un orden apropiado en una tal álgebra, y luego calcular representantes para sus clases de ideales. El propósito de nuestro trabajo es calcular ambas cosas de una manera eficiente, y en un contexto general. Concretamente, dada un álgebra de cuaterniones totalmente definida B sobre un cuerpo totalmente real F, damos un algoritmo para calcular representantes para clases de ideales para cualquier orden de Bass en B. Consideramos una vasta familia de órdenes, los órdenes de Bass. Además de los bien conocidos órdenes de Eichler, esta familia incluye los órdenes de nivel p2r+1 considerados por Pizer en , los órdenes utilizados en para calcular formas modulares de nivel p2, y los órdenes considerados en para calcular preimágenes para tales formas bajo la correspondencia de Shimura. El resto de los órdenes de Bass son incluidos por completitud. Nuestro algoritmo, en contraste con los métodos á la Pizer, no requiere conocimientos sobre número de clases, evita el cálculo aleatorio de ideales, y evita el uso repetido de la forma norma para chequear equivalencia entre ideales, todo lo cual hace que el método sea eficiente. Como la implementación completa (en SAGE) de nuestro algoritmo está aún bajo desarrollo, no podemos hacer una comparación sistemática a gran escala de tiempos de ejecución; de todas maneras, en hay un algoritmo, que puede ser considerado como un caso particular del nuestro, que calcula representantes para clases de ideales para ´ordenes de nivel p2 en el álgebra sobre Q ramificada exactamente en p y en infinito. Este algoritmo tiene un rendimiento mucho mejor que el de MAGMA en algunos casos sencillos. Por ejemplo, al calcular representantes para clases de ideales para un orden de discriminante 1032 en el álgebra sobre Q ramificada exactamente en 103 e infinito, con una computadora Intel CoreTM2 CPU 6600 con 2 Gb de memoria RAM, MAGMA (V2.16-6) necesita 1254,96 segundos, mientras que las rutinas en PARI/GP (V2.5.0) tardan 0,00218 segundos. Los resultados obtenidos en este capítulo fueron enviados y aceptados para su publicación en la revista Mathematics of Computation, en un trabajo conjunto con mi director de tesis, Ariel Pacetti. Ver . Capítulo 2: Preimágenes para el mapa de Shimura en formas modulares de Hilbert El mapa de Shimura es un mapa Hecke lineal entre formas modulares de peso medio entero y formas modulares de peso entero, introducido en para formas modulares clásicas y generalizado en a formas modulares de Hilbert, así como al contexto automorfo en trabajos de Waldspurger, Flicker y otros. Calcular preimágenes para el mapa de Shimura comenzó a ser un tema de interés a partir de las fórmulas dadas por Waldspurger, Kohnen-Zagier, Gross y otros, relacionando los valores centrales de twists de la serie L asociada a una forma modular de peso entero f con los coeficientes de una forma de peso medio entero g correspondiendo a f por el mapa de Shimura (por ejemplo, ver ). Estas fórmulas fueron utilizadas por Tunnell en para resolver el clásico problema de los números congruentes. Fueron generalizadas para formas modulares de Hilbert en y . El problema de calcular preimágenes para el mapa de Shimura para formas modulares clásicas ha sido considerado, por ejemplo, en y . Nuestro método para calcular preimágenes en el caso de formas modulares de Hilbert se basa en las ideas presentes en , las cuales a su vez generalizan el método de Gross. Las preimágenes son obtenidas considerando ciertas series theta ternarias asociadas a ideales en álgebras de cuaterniones. Específicamente, damos un mapa Hecke lineal del espacio generado por las clases de ideales para un orden de discriminante D en un álgebra de cuaterniones totalmente definida al espacio de formas modulares de Hilbert de peso paralelo 3=2 y nivel 4D. Poder calcular estas clases de ideales, problema considerado en el Capítulo 1 de esta tesis, es por lo tanto crucial para nuestro método. La correspondencia entre clases de ideales en álgebras de cuaterniones y formas modulares de peso medio entero tiene su contraparte automorfa, que fue estudiada en sobre cuerpos de números cualesquiera, y en particular en el contexto de formas modulares de Hilbert. La ventaja de nuestro m´etodo es que, siendo más explícito, permite calcular efectivamente los coeficientes de las formas modulares de Hilbert de peso medio entero, los cuales aparecen en las fórmulas de tipo Waldspurger. Hasta donde sabemos, es el único resultado existente sobre cálculos con coeficientes de formas de Hilbert de peso medio entero. En este artículo el autor también sigue el método de Gross para calcular estos coeficientes con el objetivo de probar una fórmula de tipo Waldspurger, pero con varias restricciones como trabajar con formas de nivel potencia de primo y sobre un cuerpo base con número de clases impar, y sin considerar los operadores de Hecke ni la correspondencia de Shimura. Los resultados obtenidos en este capítulo fueron enviados para su publicación, de la cual se puede encontrar una versión preliminar en .

Abstract:
In this thesis we have worked in two different subjects related to the computation of Hilbert modular forms: the problem of computing ideal classes representatives in totally definite quaternion algebras, and the problem of computing preimages for the Shimura map on Hilbert modular forms. Though both subjects can be considered separately, and because of that we have split this work in two chapters, they are closely related: the method we give for computing preimages for the Shimura map relies heavily on the possibility of computing ideal classes representatives. Chapter 1: Computing ideal classes representatives in quaternion algebras The theory of quaternion algebras over number fields plays a central role in many computations related to modular forms. The idea of obtaining modular forms as theta series attached to certain lattices in quaternion algebras goes back to Hecke (see ). Eichler and others (see , , ) proved that every modular form whose level is not a square can be obtained as a linear combination of such theta series, using as lattices the ideals for a certain order in a definite quaternion algebra. Since equivalent ideals yield the same theta series, it suffices to consider ideal classes. Pizer gave in an algorithm for computing the Eichler order and its ideal classes, which consists in precomputing the class number of the order and then start computing ideals (in a rather random way) until the class number is reached. Computing Hilbert modular forms has been a subject of intense research during the last years. Their knowledge is crucial for obtaining numerical evidence for certain constructions in number theory that are well known over the rational numbers but still conjectural over other number fields, such as the Eichler-Shimura theory. Ideal classes for Eichler orders in totally definite quaternion algebras over totally real fields can be used to compute Hilbert modular forms, as explained in for Hilbert modular forms over Q and in over other real quadratic fields, following the ideas of Pizer. All these methods require first to find a suitable order in such an algebra, and then compute representatives for its ideal classes. The purpose of our work is to compute both things in an efficient way, and in a rather general setting. Concretely, given a totally definite algebra B over a totally field F, we give an algorithm for computing ideal classes representatives for any Bass order in B. We consider a broad family of orders, namely the Bass orders. Besides the well known Eichler orders, this family includes the orders considered by Pizer in , the orders used in for computing modular forms of level p2, and the orders considered in for computing preimages for such forms under the Shimura correspondence. The rest of the Bass orders are included for completeness. Our algorithm, in contrast with the methods á la Pizer, does not require any knowledge of class numbers, avoids the random computings of ideals, and avoids the repeated usage of the norm form for checking equivalences between ideals, thus making the method efficient. Although in the authors, using a smart cohomological trick, manage to compute Hilbert modular forms for any level using just maximal orders (which avoids computing representatives for other orders), their approach can not be used for computing preimages for the Shimura map on Hilbert modular forms of half-integral weight, subject that we consider in Chapter 2 of this thesis. Since the full implentation (in SAGE) of our algorithm is still in progress, we can not make a systematic large scale comparision of running times; however, in there is an algorithm, which can be considered as a special case of ours, that computes ideal classes representatives for orders of discriminant p2 in the algebra over Q ramified exactly at p and at infinity. This algorithm has a much better performance than MAGMA’s in some simple cases. For example, when computing ideal representatives for an order of discriminant 1032 in the algebra over Q ramified exactly at 103 and at infinity, with an Intel CoreTM2 CPU 6600 with 2 Gb of RAM memory, MAGMA (V2.16-6) needs 1254,96 seconds, whereas the routines in PARI/GP (V2.5.0) take 0,00218 seconds. The results obtained in this chapter were sent and accepted for their publication in the journal Mathematics of Computation, in a joint work with my thesis advisor, Ariel Pacetti. See . Chapter 2: Preimages for the Shimura map on Hilbert modular forms The Shimura map is a Hecke linear map between half-integral weight modular forms and integral weight ones, introduced in in the classical setting and generalized in to Hilbert modular forms, as well as to the automorphic setting by the work ofWaldspurger, Flicker and others. Computing preimages for the Shimura map became an interesting subject after the formulas given by Waldspurger et al. relating the central values of twists of the L-series associated to an integral weight modular form f with the coefficients of a half-integral weight form g mapping to f by the Shimura map (for example, see ). These formulas were used by Tunnell in for solving the classical congruent number problem. They were generalized to the Hilbert setting in and . The problem of computing preimages for the Shimura map in the classical setting has been considered, for example, in and . Our method for computing preimages in the Hilbert setting relies in the ideas present in , which in turn generalize the method of Gross. The preimages are obtained by considering certain ternary theta series associated to ideals in quaternion algebras. Specifically, we give a Hecke linear map from the space generated by the ideal classes of an order of discriminant D in a totally definite quaternion algebra to the space of Hilbert modular forms of parallel weight 3=2 and level 4D. The problem of computing these ideal classes, considered in Chapter 1 of this thesis, is thus crucial for our method. The correspondence between ideal classes in quaternion algebras and half-integral weight modular forms has its automorphic counterpart, and was studied in over any number field, and in particular in the Hilbert setting. The advantage of our method is that, being more explicit, it allows to compute effectively the coefficients of the half-integral weight Hilbert modular forms, which appear in Waldspurger’s type formulas. As far as we know, is the unique existing result regarding computations with coefficients of half-integral weight Hilbert modular forms. In this article the author also follows the method of Gross for computing these coefficients to prove a Waldspurger’s type formula, but with several restrictions such as working with level a power of a prime and odd class number of the base field, and with no focus on Hecke operators nor the Shimura correspondence. The results obtained in this chapter were sent for their publication; there is a preprint available at .

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