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Tesis > TÍTULO

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"K-teoría algebraica y topológica de anillos de grupo" (2015-08-04). Tartaglia, Gisela. Tesis doctoral. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales. Universidad de Buenos Aires

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Resumen:
Las conjeturas de isomorfismo prevén una descripción de la K-teoría (en sus diversas variantes) del producto cruzado R x G de un grupo G con coeficientes en un anillo R equipado con una acción de G, en términos de topología algebraica. En esta tesis estudiamos diferentes versiones de las conjeturas con ideales de operadores como anillos de coeficientes. Consideramos primero el morfismo de ensamble para la K-teoría algebraica con coeficientes en el anillo S de operadores de Schatten. Guoliang Yu probó que este morfismo es racionalmente inyectivo. Su prueba involucra la construcción de un cierto caracter de Chern que funciona para el caso particular con coeficientes K(S). Aquí damos una demostración alternativa del resultado de Yu, formulándolo en términos de K-teoría homotópica y utilizando el caracter de Chern usual con valores en la homología cíclica. Mostramos además que si G satisface la conjetura de isomorfismo racional para K-teoría homotópica con coeficientes en el álgebra de operadores de traza en un espacio de Hilbert, entonces también satisface la conjetura de Novikov para K-teoría algebraica y la parte de inyectividad racional de la conjetura de Farrell-Jones con coeficientes en cualquier cuerpo de números. Finalmente probamos la validez de la conjetura de Farrell-Jones para un grupo a-T-menable G con coeficientes en un anillo de la forma Ix(UxK), donde I es un G-anillo K-escisivo, U es una G-C*-álgebra y K = K(l´2(N) es ideal de operadores compactos. Utilizando esto y el resultado de Higson y Kasparov sobre la validez de la conjetura de Baum-Connes con coeficientes para tales grupos, mostramos que si A es estable y separable la K-teoría del producto cruzado algebraico U x G coincide con la K-teoría de la C*-álgebra plena C*(U;G). Palabras clave: K-teoría, conjeturas de isomorfismo, ideales de operadores, homología, álgebras de grupo.

Abstract:
The isomorphism conjectures predict a description of the K-theory (in its different variants) of the crossed product R x G of a group G with coefficients in a ring R equipped with an action of G, in terms of algebraic topology. In this thesis we study different versions of the conjectures with operator ideals as coefficient rings. We consider first the assembly map for algebraic K-theory with coefficients in the ring of Schatten operators S. Guoliang Yu proved that this morphism is rationally injective. His proof involves the construction of a certain Chern character tailored to work with coefficients K(S). Here we give a different proof of Yu's result; we formulate it in terms of homotopy K-theory and we use the usual Chern character with values in the cyclic homology. We also show that if G satisfies the rational isomorphism conjecture for homotopy K-theory with coefficients in the algebra of trace-class operators in a Hilbert space, then it also satisfies the Novikov conjecture for algebraic K-theory and the rational injectivity part of the Farrell-Jones conjecture with coefficients in any number field. Finally we prove the validity of the Farrell-Jones conjecture for an a-T-menable group G with cofficients in a ring of the form Ix(UxK), where I is a K-excisive G-ring, U is a G-C*-algebra and K = K(l`2(N) is the ideal of compact operators. We use this and the result of Higson and Kasparov that the Baum-Connes conjecture with coefficients holds for such groups, to show that if U is stable and separable, then the algebraic and the C*-crossed products of G with U have the same K-theory. Keywords: K-theory, isomorphism conjectures, operator ideals, homology, group algebras.

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